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Introduzione alla matematica finanziaria – Andrea il Matematico #adessonews

La matematica finanziaria è quella parte della matematica che si occupa di problemi collegati alla finanza.

In particolare modo l’oggetto principalmente studiato sono le operazioni finanziarie, tipicamente investimenti e finanziamenti.

RELAZIONI CON MOLTE MATERIE ECONOMICHE

La matematica finanziaria ha relazioni con diverse materie che si studiano in ambito economico.

In particolare mi riferisco a:

  • Finanza
  • Mercato mobiliare
  • Economia monetaria
  • Ragioneria
  • Economia politica

La relazione forse più forte è quella che la collega alla finanza aziendale.

La finanza aziendale è infatti quella branchia dell’economia che studia le decisioni di investimento e di finanziamento delle imprese.

Le relazioni tra la matematica finanziaria e la finanza aziendale sono dunque molteplici.

Quando dobbiamo stabilire infatti la fattibilità o meno di un progetto di investimento, il principale strumento che abbiamo a disposizione deriva principalmente dalla matematica finanziaria.

In particolare ci riferiamo al metodo del Valore Attuale Netto (VAN) di un investimento che consiste nell’attualizzazione i flussi di cassa futuri generati dall’investimento stesso.

Anche quando dobbiamo calcolare il prezzo delle azioni e delle obbligazioni ci servono tali procedimenti di attualizzazione.

Così infine questi stessi procedimenti si spingono sino a calcolare il valore della società.

Anche la relazione della matematica finanziaria con mercato mobiliare è abbastanza forte.

Il mercato mobiliare è quella branchia dell’economia che ha come oggetto principale lo scambio dei titoli finanziari e le loro caratteristiche in termini di rischio e di rendimento.

Tali titoli sono principalmente azioni e obbligazioni, ma vi sono anche titoli chiamati derivati (proprio perché derivano dai primi due) come ad esempio opzioni, future, e swap.

Per conoscere il valore di mercato di questi titoli la conoscenza della matematica finanziaria è fondamentale.

Ancora un’altra materia in cui vi sono importanti relazioni con la matematica finanziaria è il mercato monetario.

Possiamo definire il mercato monetario come un mercato di capitali in cui vengono scambiati titoli e prestiti con durata generalmente inferiore ai 18 mesi.

Anche qui la matematica finanziaria entra in gioco per stabilire il valore di tali titoli finanziari o per determinare l’ammontare degli scambi monetari generati ad esempi tra le banche e le imprese in materia di finanziamenti.

Un po’ meno strette sono le relazioni tra la matematica finanziaria ed altre due materie: ragioneria ed economia politica.

In ragioneria forse una delle poche connessioni consiste nei calcoli relativi alla partita doppia quando ci troviamo di fronte ai piani di ammortamento relativamente al calcolo degli interessi passivi, o per il calcolo del valore della cambiali.

Anche nell’economia politica troviamo qualche piccolo 

Nella micro economia si trova qualche piccolo cenno nella teoria del vincolo inter-temporale, grazie al quale è possibile comprendere le decisioni di scelta tra il reddito presente e quello futuro di un individuo.

Mentre in macroeconomia troviamo un po’ di matematica finanziaria quando si introduce il concetto di interesse, fondamentale poi per comprendere il meccanismo del modello IS-LM

STRUTTURA PIRAMIDALE DELLA MATEMATICA FINANZIARIA

Prima di affrontare la matematica finanziaria è bene sapere che la possiamo rappresentare come una piramide.

Alla base di questa piramide troviamo gli elementi fondamentali, poi troviamo un livello intermedio ed infine quelle più avanzato.

Ess in qualche modo può essere vista anche come una scatola cinese in cui la base è la scatola più piccola, il livello intermedio è la scatola intermedia, mentre quello avanzato è la scatola grande

Entriamo più nello specifico definendo meglio le componenti dei vari livelli.

LIVELLO BASE

Nel livello base della matematica finanziaria troviamo tutti quei concetti base che definiscono meglio la materia.

Mi riferisco in particolare a:

  • Processi di capitalizzatone e attualizzazione
  • Capitale, montante e valore attuale
  • Interesse, tasso di interesse e intensità di interesse
  • Sconto tasso di sconto e intensità di sconto
  • Fattore di montante e di attualizzazione
  • Scindibilità e traslabilità

Questa parte della materia è a mio avviso la più incomprensibile dal punto di vista pratico, poiché si aggancia ai concetti e alle definizioni puramente matematiche.

Definiti questi concetti se vogliamo di re così un po’ astratti comincia il vero viaggio nello studio della materia, che riprende dai regimi finanziari.

I regimi finanziari sono quella parte della materia che formalizza le regole di calcolo che verranno utilizzate quando si avrà a che fare con le operazioni finanziarie, ovvero investimenti e finanziamenti.

Distinguiamo i regimi finanziari in tre principali categorie:

  • Semplice
  • Composto 
  • Anticipato.

Questi tre regimi finanziari vengono analizzati sia in fase di capitalizzazione che in fase di attualizzazione.

È di fondamentale importanza in questo approccio un utilizzo appropriato delle formule inverse e la conoscenza di alcune proprietà matematiche come le derivate.

Un terzo blocco che contribuisce a definire meglio il livello base della matematica finanziaria è quello dei tassi di interesse.

Un aspetto chiave dei tassi di interesse che vengono utilizzati nei regimi finanziari è che esiste una relazione biunivoca tra l’unità temporale che si sta utilizzando e il tasso di interesse stesso. 

Per unità temporale intendiamo ad esempio, il mese, il quadrimestre, l’anno e così via.

A questi dovranno corrispondere il tasso mensile, il tasso quadrimestrale, il tasso annuo e via discorrendo.

Livello avanzato  Livello intermedio  LIVELLO BASE  CONCETTI FONDAMENTALI  Capitalizzazione e  Capitale, montante e valore attuale  - Interesse, tasso di interesse, intensità di interesse  Sconto, tasso di sconto, intensità di sconto  Fattore di montante e di sconto  REGIMI FINANZIARI  Semplice  Composto  Anticipato  - Proprietà e grafici  TASSI Dl INTERESSE

LIVELLO INTERMEDIO 

Una volta che abbiamo affrontato il cammino salendo i gradini del livello base eccoci arrivati al livello intermedio.

Questo è il livello a mio avviso più affascinante della materia.

Arrivati a questo punto dovremmo essere in grado di utilizzare tutti gli strumenti acquisititi nella prima parte del percorso per creare nuovi e più e elaborati concetti.

Questi sono le operazioni finanziarie e le rendite.

Livello avanzato  LIVELLO INTERMEDIO  Operazioni finanziarie  Rendite  Livello base

OPERAZIONI FINANZIARIE

Le operazioni finanziarie possono essere definiti come una serie di importi in tempi differenti.

Esse possono essere descritte sia attraverso l’utilizzo dei vettori che rappresentati graficamente  su una linea del tempo.

Immaginiamo che un individuo si privi oggi di una certa somma di denaro, ad esempio 1.000 euro con la finalità di ricevere 300 euro tra un anno, 600 euro ra due anni e 400 euro tra tre anni.

Potremo descrivere questa operazione finanziaria attraverso l’utilizzo di due vettori, che possiamo chiamo X e T.

Dove per X intendiamo il vettore le cui componenti rappresentano i flussi di cassa prodotti da questo investimento, mentre il vettore T rappresenta i tempi corrispondenti di tali flusso di cassa.

Se volessimo rappresentare invece tale situazione su una linea del tempo avremo:

Sopra linea del tempo ho rappresentato i tempi, ovvero le componenti del vettore T, mentre sotto la linea, in corrispondenza di ogni tempo gli importi monetari, ovvero le componenti di X.

Quando si studiano tali operazioni finanziarie ritengo che sia di fondamentale importanza una corretta, seppur non precisa, rappresentazione grafica.

Le operazioni finanziarie si distinguono in operazioni di investimento e di finanziamento.

INVESTIMENTI E FINANZIAMENTI

Un’operazione finanziaria di investimento, come quella rappresentata in precedenza indica una rinuncia iniziale di risorse per ottenere dei valori positivi nei tempi seguenti.

Un esempio pratico di operazione di investimento in termini reali potrebbe essere rappresentato da un’azienda che acquista un macchinario o un impianto.

Tale acquisto permetterà all’azienda di produrre dei beni e servizi che una volta venduti al consumatore genereranno dei flussi finanziari positivi.

Un esempio di investimento di natura finanziaria potrebbe essere l’acquisto da parte di un investitore di un titolo obbligazionario.

In cambio dell’acquisto di tale titolo l’investitore avrà il diritto ad esempio a riscuotere periodicamente delle cedole, che rappresentano gli interessi dell’investimento e il suo capitale a scadenza.

Dall’altro lato troviamo le operazioni finanziarie di finanziamento.

Nei finanziamenti abbiamo in una fase iniziale un flusso finanziario con segno positivo, seguito in una o più fasi successive a flussi di cassa negativi.

Tali flussi di cassa vengono definite rate, che incorporano, oltre che il pagamento del capitale preso a prestito anche le rispettive quote interesse.

Questa parte verrà meglio descritta all’interno del livello avanzato dedicato ai piani di ammortamento.

VALORE AL TEMPO T DI UNA OPERAZIONE FINANIZARIA

Quando si affrontano le operazioni finanziarie all’interno della matematica finanziaria è bene sapere che importi monetari di valore complessivamente uguale all’interno di uno stesso arco temporale non hanno lo stesso valore.

Se ad esempio consideriamo le due seguenti operazioni di investimento A e B:

Con importi calcolati alle stesse epoche espresse dal vettore T

Entrambi gli investimenti durano tre anni e richiedono un esborso negativo iniziale pari a 1.000 euro.

Sempre in entrambi gli investimento il valore complessivo dei flussi di cassa è complessivamente pari a 1.300 euro.

Dunque ci verrebbe da pensare che queste due operazioni finanziarie siano equivalenti, ma non è così.

Grazie agli strumenti della matematica finanziaria (capitalizzazione e attualizzazione) e grazie ai regimi finanziari, saremo in grado di stabilire il valore di ognuna di queste due operazioni finanziarie a un particolare tempo.

Questo implicherà naturalmente la capitalizzazione degli importi precedenti e l’attualizzazione degli importi successivi.

Per darvi un’idea grafico di quello che si fa in questa sezione centrale della matematica finanziaria osservate come esempio la figura sottostante.

- 400  — 400  - (440,oa .3)  -1  440,04. Z

Come potete osservare in questo piano di investimento abbiamo calcolato il valore dell’operazione finanziaria al tempo 3.

Le frecce “trasportano nel tempo” i flussi monetari sino all’epoca in cui si intende calcolare il valore dell’operazione finanziaria.

EQUITA’ DELLE OPERAZIONI FINANZIARIE

Un concetto molto importante associato alle operazioni finanziarie è l’equità.

Un’operazione finanziaria si definisce equa in un determinato tempo se il suo valore calcolato in quel tempo è pari a zero.

Simbolicamente potremo anche usare questa formula:

 che può essere tradotto in questo modo:

” il valore V calcolato all’epoca t* degli importi descritti dal vettore X che si verificano ai tempi descritti dal vettore T deve risultare pari a zero”

Il concetto di equità nelle operazioni finanziarie è un concetto di cruciale importanza.

Infatti, date certe condizioni presenti nel mercato (solitamente incorporate dal tasso di interesse), è bene sapere se una data operazione finanziaria può essere considerata equa.

Cioè detto in altre parole, quando stiamo facendo un investimento o ricevendo un investimento vorremmo sapere se questa cosa risulta per noi vantaggiosa, svantaggiosa oppure equivalente rispetto alle alternative più frequentate.

Tra i tre regimi finanziari che si studiano il regime composto è quello che garantisce che se l’operazione finanziaria è equa in un determinato tempo allora lo sarà in tutte le epoche.

RENDITE

Per rendite possiamo intendere delle operazioni finanziarie caratterizzate da importi dello stesso segno chiamate rate.

In realtà questa definizione non è propriamente corretta poiché se gli importi hanno tutti lo stesso segno tale operazione non sarebbe definibile ne come un investimento e neppure come un finanziamento.

Comunque poco ci importa se non che sia una definizione funzionale a concepire questo nuovo concetto.

Se volessimo trovare una definizione un po’ più lineare potremmo usare la seguente.

Possiamo definire una rendita come un insieme di importi  chiamati rate, esigibili o pagabili in tempi predefiniti.

Un esempio di rendita potrebbe essere il seguente:

Questa rendita presenta due rate di importo 1.000 pagabili tra 1 e 2 anni, e 2 rate di importo 2.000 pagabili tra 5 e 7 anni.

CLASSIFICAZIONE DELLE RENDITE

Il punto di partenza quando si affrontano le rendite è la classificazione.

Le rendite possono essere classificate sulla base di diversi fattori che riguardano le rate che la compongono, come ad esempio:

  • Importo delle rate
  • Periodicità delle rate
  • Durata della rendita
  • Decorrenza 
  • Scadenza della rata

L’importo delle rate può essere costante oppure non costante.

Lo definiremo ad esempio costante quando l’importo delle rate è il medesimo, ad esempio sempre 1.000 euro.

Per periodicità si intende il tempo che trascorre da una rata all’altra.

Una rendita si definisce periodica se il pagamento delle rate avviene ad intervalli regolari di tempo, ad esempio ogni mese, ogni anno, ogni semestre, ecc.

Per quanto riguarda la durata la rendita può essere temporanea oppure perpetua.

La rendita si dice temporanea quando ha un inizio e una fine; tale rendita avrà perciò un numero limitato di rate.

Una rendita perpetua ha un inizio ma non ha una fine: perciò diciamo che ha un numero di rate illimitato.

Per riuscire a capire meglio questo concetto pensate all’affitto che può essere generato da un terreno.

Siccome il terreno è considerato un oggetto eterno, allora lo sarà anche la rendita che è in grado di generare.

Quando parliamo della decorrenza distinguiamo i casi della rendita immediata da quella differita.

Una rendita è  immediata se parte oggi, mentre è differita se partirà in un tempo futuro.

Per quanto riguarda invece la scadenza della rata essa può essere anticipata oppure posticipata.

Una rendita è anticipata quando la rata viene pagata o riscossa in anticipo, ovvero all’inizio del periodo di riferimento.

Un esempio di tale tipologia può essere ad esempio il pagamento di una polizza assicurativa o di un affitto anticipato, ad esempio pagato all’inizio di ogni mese.

Una rendita si dice posticipata quando invece il pagamento delle rate avviene alla fine dei relativi periodi, come ad esempio l’affitto a fine mese.

VALORE ATTUALE E MONTANTE DELLE RENDITE

Quando affrontiamo le rendite all’interno della matematica finanziaria siamo interessati a conoscere il valore attuale (oggi) della rendita oppure il suo valore alla scadenza (montante).

Ancora una volta ritornano prepotenti i concetti di attualizzazione e capitalizzazione.

Quando vogliamo calcolare il valore oggi della rendita dovremo attualizzare ad oggi le rate future.

iiii  Calcolo del valore attuale di una rendita  4-000  .ooo  000  0 00  ••••iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii••

Quando invece vogliamo calcolare il montante della rendita allora dobbiamo capitalizzare le rate sino all’epoca della scadenza della rendita

000  4 08  08  0 00

RENDITE MOLTO PARTICOLARI

Quando siamo nel vasto mondo delle rendite vi è una tipologia di rendita che ha in qualche modo attratto l’attenzione della maggior parte degli studiosi.

Prima di dirvi le caratteristiche di tale tipo di rendita partirò con un esempio che meglio vi può far capire.

Supponete di chiedere ad un amico che ha appena stipulato un mutuo per l’acquisto della sua abitazione quanto paga di rata al mese.

Il vostro amico vi presenta l’estratto conto degli ultimi 28 mesi e gli importi che leggete sono:

398,50;   405,72;    415,87;    ….,    400,05, 401,15;   399,59.

Ora non sarebbe più comodo che il vostro amico vi abbia detto: “circa 400 euro al mese per una durata di 15 anni”.

In questo modo il concetto sarebbe immediatamente comprensibile.

Il tipo di rendita maggiormente studiata proprio per la sua semplice struttura presenta le seguenti caratteristiche:

Rendita a rata costante, periodica, temporanea di n rate, immediata e posticipata.

Se rappresentiamo questo tipo di rendita potremo vederla in questo modo:

Quando operiamo nel regime composto esistono delle formule molto particolari per calcolarne il valore attuale e il montante.

Per calcolare il valore attuale utilizziamo questa formula:

Dove quel simbolo dopo il primo uguale si legge a figurato n al tasso i, dove n indica il numero di rate e i il tasso di interesse.

La seguente figura mostra cosa avviene a livello grafico.

1•••鏖쯔쯔쯔쯔쯔쯔쯔쯔쯔쯔쯔쯔쯔쯔쯔쯔쯔쯔쯔 - 1•••鏖쯔쯔쯔쯔쯔쯔쯔쯔쯔쯔쯔쯔쯔쯔쯔쯔쯔쯔쯔 -

Per calcolare il montante della rendita ci avvaliamo invece della seguente formula:

Dove il simbolo con la s, si legge “esse figurato n al tasso i”

Anche se questa tipologia di rendita è un caso molto particolare la sua comprensione rende agevolmente possibile la comprensione di tutto il resto della teoria e della pratica sulla rendite.

Una volta compresi i fondamenti di questi due calcoli è possibile guardare in senso più ampio a tutti gli altri tipi di rendite particolari che possono essere schematizzati tramite il seguente schema ad albero.

POSTICIPATA  IMMEDIATA  ANTICIPATA  TEMPORANEA  POSTICPATA  DIFFERITA  RENDlTA  ANTlClPATA  REGWE COMPOSTO  TASSO i  PERlODlCA  POSTICIPATA  ИТА COSTANTE  'ММОАТА  ANTlClPATA  PERPETUA  POSTlClPATA  DIFFERITA  ANTICIPATA

In questa sezione meritano una particolare attenzione le rendite perpetue.

Tale attenzione è dovuta al fatto che per poter calcolare il valore attuale di tali rendite il procedimento è molto semplice.

LIVELLO AVANZATO

Quando abbiamo superato gli step intermedi delle operazioni finanziarie e delle rendite siamo finalmente in grado di affrontare i livello avanzati della matematica finanziaria.

In essi facciamo rientrare i seguenti 4 argomenti:

  • Piani di ammortamento
  • Criteri di scelta tra operazioni finanziarie
  • Titoli obbligazionari e struttura dei tassi di interesse
  • Matematica attuariale

••iiii¯  LIVELLO AVANZATO  Piani di ammortamento  Criteri di scelta  Obbligazioni e struttura dei tassi  Matematica attuariale  Livello intermedio  Livello base

Se volessimo essere più precisi i piani di ammortamento e i criteri di scelta sarebbero un “avanzato 1”, mentre gli ultimi due argomenti un “avanzato 2”.

PIANI DI AMMORTAMENTO 

I piani di ammortamento sono i piani di restituzione di un prestito attraverso delle rate.

Ogni rata comprende in se due componenti.

La prima è la quota capitale, ovvero quella parte di rata che è destinata alla restituzione del capitale preso a prestito.

La seconda è la quota interesse, ovvero quella parte di rata che serve a remunerare il capitale preso a prestito.

Il pagamento di ogni rata diminuisce il debito residuo, inizialmente pari al capitale preso a prestito, della relativa quota capitale.

Il debito estinto aumenta della successiva quota capitale.

I piani di ammortamento vengono rappresentati come nella seguente figura:

11  Dl  tk-l  tk*l  tk+l  n-1 tn-l  Rk-l  Rk•l  Ck-ı  cm  Ck42  Ik-ı  İka  Dk-ı  Dk*l  Ek- 1  Ek•ı  Ek42  cn-ı  In-I

K indica il numero della rata

tk l’epoca relativa ad ogni rata

Rk è l’importo della k-esima rata

Ck è l’importo della k-esima quota capitale

Ik è l’importo della k-esima quota interesse

Dk è il k-esimo debito residuo

Ek è il k-esimo debito estinto.

CONDIZIONI DI CHIUSURA

Affinché sia valido un piano di ammortamento devono valore due condizioni di chiusura: elementare e finanziaria.

La condizione di chiusura elementare implica che la somma algebrica delle quote capitale deve essere pari al capitale preso a prestito.

Indicato con S il capitale preso a prestito, possiamo scrivere questa relazione nel seguente modo:

La condizione di chiusura finanziaria afferma invece che la somma delle rate attualizzate deve coincidere con il capitale S preso a prestito.

Scritta con formule matematico, quando si opera nel regime a capitalizzazione composta, diventa:

Formula che può essere sintetizzata nel seguente modo:

TIPOLOGIA DI PIANI DI AMMORTAMENTO

Oltre ai generici piani di ammortamento dove non esistono particolari regole di stesura, possiamo riconoscere alcune tipologie “standard” di piani di ammortamento.

Le principali tipologie di ammortamento sono:

  • Restituzione in un’unica rata finale
  • Pagamento periodico delle quote interesse e capitale a scadenza
  • Italiano
  • Francese 
  • Americano

AMMORTAMENTO CON RESTITUZIONE TRAMITE UN’UNICA RATA FINALE

Questo è il piano di ammortamento più semplice in quanto prevede la restituzione di una sola rata alla scadenza.

Supponendo che tale rata venga pagata dopo n periodi il suo calcolo sarà il montante del capitale S preso a prestito.

L’unica quota capitale contenuta nella rata sarà ovviamente pari a S, mentre la quota interesse potremo calcolarla in questo modo:

AMMORTAMENTO CON QUOTE CAPITALI COSTANTI E RIBORSO DEL PRESTITO A SCADENZA

Anche questo piano di ammortamento è particolarmente semplice.

Ad intervalli di tempo regolari vengono pagate quote di interessi costanti pari a:

Mentre nell’ultimo periodo viene pagata anche la quota capitale pari all’importo del capitale S

AMMORTAMENTO ITALIANO

Il piano di ammortamento italiano è definito anche piano di ammortamento a quota capitale costante.

Dalla condizione di chiusura elementare si evince subito che la quota capitale è pari al rapporto tra il capitale preso a prestito e il numero di rate:

Il debito residuo (Dk) e il debito estinto (Ek) seguono una progressione aritmetica in ragione della quota capitale.

Il debito residuo ovviamente decresce della quota capitale e quindi la sua ragione (negativa) è pari a -S/n.

Mentre il debito estinto ha ragione positiva pari a pari a +S/n.

Per poter calcolare il debito estinto (Ek) e il debito residuo (Dk) in una generica epoca k, ricorriamo alle seguenti formule:

Per calcolare invece la quota interesse usiamo la seguente formula:

AMMORTAMENTO FRANCESE

Il piano di ammortamento francese è definito anche piano di ammortamento con rata costante.

Dalla condizione di chiusura finanziaria, da cui possiamo applicare le regole sulle rendite risulta immediatamente chiaro che:

Da questa relazione risulta immediato il calcolo della rata dell’ammortamento:

Ad esempio se volessimo calcolare la rata annuale di un piano di ammortamento francese della durata di 30 anni quando abbiamo un capitale prestito di 100.000 al tasso del 5% annuo, avremo che:

Questo piano di ammortamento è anche definito progressivo, nel senso che le sue quote capitali seguono una progressione geometrica la cui ragione è pari a (1+i).

Così se vogliamo calcolare le quote capitali avremo che:

Più in generale potremo anche scrivere che:

Una relazione interessante che collega il pagamento della rata R alla quota capitale del k-esimo periodo Ck è la seguente

Ad esempio tornando all’esempio numerico precedente se volessimo calcolare la settima quota capitale (C7), lo faremmo in questo modo:

Siccome possiamo ottenere una qualsiasi quota interesse sottraendo dalla rata (costante) la relativa quota capitale avremo che:

Raccogliendo a fattor comune la rata avremo che:

Così sempre tornando all’esempio precedente se volessimo calcolare la dodicesima quota interesse, faremo in questo modo:

Anche per calcolare il debito estinto abbiamo a disposizione un’interessante formula:

Tale formula deriva dal fatto che il debito ad una determinata epoca k può essere calcolato attualizzando le future (n-k) rate.

Sempre tornando all’esempio di prima se volessimo calcolare il debito residuo all’epoca 15, faremo il seguente calcolo:

AMMORTAMENTO AMERICANO

Di tutti i piani di ammortamento quello americano è sicuramente il più singolare.

Questo piano di ammortamento è definito anche piano di ammortamento a due tassi di interesse.

Il piano di ammortamento americano prevede da un lato che si versino alla banca delle quote di interesse costanti.

Mentre dall’altro che venga costituito su un fondo separato il capitale S preso a prestito mediante il pagamento di quote di fondo  costanti.

Chiameremo i il tasso di interesse adottato dalla banca per il calcolo degli interessi, mentre j il tasso di maturazione del fondo.

Le quote interessi vengono calcolate esattamente nello stesso modo del piano di ammortamento con rimborso periodico degli interessi, attraverso la formula:

Le quote costanti del fondo, calcolate con il secondo tasso j, hanno come obiettivo finale la costituzione del capitale preso a prestito S.

La relazione che esiste tra la quota di fondo Q e del capitale preso a prestito S è stabilita ancora una volta dalla formula riguardante il calcolo del montante di una rendita periodica, temporanea e posticipata.

In particolare la formula che esprime tale relazione è la seguente:

Applicando la formula inversa è possibile calcolare agevolmente la quota di fondo:

Il debito residuo resta pari sempre ad S fino alla rata pagata in (n-1), essendo che la quota capitale in tali epoche risulta sempre nulla.

USUFRUTTO E NUDA PROPRIETA’

Quando si studiano i piani di ammortamento due concetti risultano di cruciale importanza.

Mi riferisco ai concetti di usufrutto e di nuda proprietà.

Come ben sappiamo le rate di un ammortamento si suddividono in due componenti: la quota capitale e la quota interessi.

Quando il piano di ammortamento è ad un certo punto della sua vita possiamo attuare il noto concetto di attualizzazione per il calcolo dell’usufrutto e della nuda proprietà.

Per calcolare la nuda proprietà ad una certa epoca t attualizzazione ad un determinato tasso, solitamente nel regime composto le future quote capitale.

Mentre per calcolare l’usufrutto attualizziamo le future quote interesse.

Il grafico sottostante dovrebbe rendere l’idea.

Vi faccio un attimo ragionare sui concetti di usufrutto e nuda proprietà.

La nuda proprietà richiama al concetto del capitale che è stato prestato.

La proprietà del capitale che deve essere restituito alla banca.

L’usufrutto richiama invece al concetto che qualcuno sta usufruendo di questo capitale.

Per questo motivo chi detiene il capitale a prestito paga una sorta di affitto chiamato interesse.

CRTERI DI SCELTA

Quando stiamo prendendo in considerazione un’operazione finanziaria, o più in particolare dei progetti di investimento o di finanziamento abbiamo bisogno di criteri che ci facciano meglio capire la direzione da seguire.

I criteri di scelta o di valutazione dei progetti offrono degli strumenti grazie ai quali è possibile scegliere l’alternativa migliore in quanto a investimenti o finanziamenti.

I principali criteri di scelta a disposizione sono il REA e il TIR.

RISULTATO ECONOMICO ATTUALIZZATO (REA)

Il REA, ovvero il Risultato Economico Attualizzato, è un criterio di scelta che si basa sull’attualizzazione ad un determinato tasso di interesse dei flussi di cassa prodotti da un’operazione finanziaria.

Supponiamo ad esempio che dobbiamo scegliere tra due opzioni di investimento, che chiameremo progetto A e progetto B.

Entrambe queste alternative di durata pari a tre anni e comportano un investimento iniziale pari a 100.

Sulla base del REA verranno valutate nel regime composto adottando un tasso tecnico di riferimento del 7%.

L’alternativa A è descritta dai seguente vettore dei flussi XA

Mentre l’alternativa B è descritta dal seguente vettore dei flussi XB:

Per entrambi il vettore dei tempi di riferimento è:

Procediamo ora al calcolo di entrambi i REA.

I calcoli sono rafforzati dalle immagini che ci offrono un’idea più concreta di quella che sta succedendo

Entrambi i REA sono positivi, ma senza dubbio è preferibile l’opzione A poiché il suo REA è maggiore.

Diciamo quindi che quando ci troviamo di fronte a più opzioni di investimento optiamo per quella che presenta un risultato economico attualizzato maggiore.

E per quanto concerne le opzioni di finanziamento come ci dobbiamo comportare?.

Immaginiamo di prendere in considerazione le stesse due operazioni finanziarie appena analizzate, ma di cambiare tutti i segni.

In questo modo otteniamo delle operazioni di finanziamento.

Se quindi facciamo i calcoli sul REA questi usciranno invertiti e dunque avremo:

Se ci trovassimo di fronte alla richiesta di un prestito in questa situazione opteremo per l’opzione B, in quanto tra le due alternative è quella che ci da la minor perdita.

Facciamo attenzione al fatto che la logica rispetto a prima non è cambiata.

Abbiamo optato per il finanziamento che ci dava comunque il REA maggiore tra i due.

TASSO INTERNO DI RENDIMENTO (TIR)

Il secondo criterio di scelta importante è il TIR, ovvero il tasso interno di rendimento.

Il TIR è definito come quel tasso che rende il REA pari a zero.

Per darvi subito un’idea concreta di quello che stiamo affrontando immaginiamo di trovarci di fronte al progetto di finanziamento Z caratterizzato dai seguenti vettori:

Se vogliamo calcolare il TIR dobbiamo porre il REA uguale a zero.

Per fare ciò dobbiamo risolvere la seguente equazione con i=TIR come incognita.

A questo punto possiamo porre  (1+i)^-1 = v e risolvere l’equazione di secondo grado con incognita v

Tra le due soluzioni scartiamo quella negativa, poiché il TIR non può essere accettato negativo

Ora ricaviamo la nostra incognita dal valore di v positivo:

UNICITA’ DEL TIR E PROBLEMI CONNESSI AL CALCOLO 

Calcolare il TIR quando ci si trova nel regime composto induce alla risoluzione di equazioni di grado generico n.

Per esempio se volessimo calcolare il TIR dell’operazione finanziaria descritta dai seguenti vettori

Ci troveremo di fronte ad un’equazione di terzo grado del tipo

Che potenzialmente potrebbe ammettere tre soluzioni del TIR.

Dal punto di vista matematico il TIR potrebbe dunque non essere unico.

Una condizione necessaria che rende il criterio del TIR applicabile per la scelta tra più opzioni ammissibili è il fatto che il TIR esista, sia unico e sia positivo.

Un’ulteriore condizione legata per lo più a vicende di natura economica è che questo tasso interno non sia troppo elevato.

Per quanto riguarda la risoluzione di equazioni di grado superiore al secondo (o di grado che potrebbe non essere intero) è di norma risolto da metodi alternativi.

Per citare alcuni si potrebbe utilizzare il metodo delle tangenti oppure il metodo di Newton.

MERCATO OBBLIGAZIONARIO E STRUTTURA DEI TASSI DI INTERESSE

Il terzo tasso della matematica finanziaria avanzata riguarda il mercato obbligazionario e la struttura finanziaria dei tassi di interesse.

OBBLIGAZIONI

Le obbligazioni sono titoli di debito che servono a finanziare le aziende.

Questi titoli sono venduti sul mercato ad un determinato prezzo calcolato attualizzando i flussi di cassa prodotti dal titolo ad un determinato tasso di interesse.

Una principale classificazione delle obbligazioni riguarda il pagamento o meno di cedole, ovvero degli interessi pagati del titolo.

Le obbligazioni senza cedola restituiscono un unico flusso di cassa finale chiamato il valore nominale del titolo che incorpora sia il prezzo pagato e i relativi interessi.

Questo obbligazioni vengono anche definite Zero Coupon Bond (ZCB).

Solitamente la loro durata varia da uno a tre anni.

Le obbligazioni cedolari (Coupon Bond) vengono emesse ad un determinato prezzo, e pagamento ad intervalli di tempo regolari (annualmente, semestralmente o trimestralmente) delle cedole.

Queste cedole che incorporano gli interessi del titolo vengono calcolate in base ad un predeterminato tasso sul valore nominale del titolo.

Alla scadenza oltre al pagamento della cedola viene pagato anche il valore nominale.

Quando il prezzo a cui viene acquistata l’obbligazione è inferiore al valore nominale diciamo che il titolo è stato emesso sotto la pari.

Se invece il prezzo del titolo è superiore al valore nominale avremo un acquisto sopra la pari.

Ovviamente se il prezzo è uguale al valore nominale diciamo che l’acquisto avviene alla pari.

Nel caso in cui l’acquisto avvenga sotto alla pari il TIR dell’obbligazione è inferiore al tasso cedolare.

Mentre nel caso in cui l’acquisto avvenga sotto la pari il TIR risulta superiore al al tasso cedolare.

Chiaramente nel caso di acquisto alla pari c’è una coincidenza tra il TIR e il tasso cedolare.

Per chiare meglio questo concetto consideriamo il seguente esempio.

ACQUISTO SOPRA O SOTTO ALLA PARI E TIR DELL’OBBLIGAZIONE

Supponiamo di trovarci di fronte ad un’obbligazione della durata di due anni dal valore nominale pari a 100, che paga cedole annue al 2%.

A quanto ammonterebbe il TIR nel caso in cui i prezzi di emissione siano 98, 100 oppure 101.

Nella prima situazione abbiamo un esborso iniziale pari a 98, ovvero il prezzo pagato, seguito da due flussi di cassa.

Il primo flusso di cassa al tempo 1 è pari alla cedola, calcolata applicando il tasso cedolare al valore nominale del titolo.

Il flusso di cassa del terzo anno è pari a 102, ovvero alla soma tra il valore nominale e la cedola.

Per poter ricavare il tasso interno di rendimento bisogna risolvere la seguente equazione:

 da cui ricaviamo che v è pari a 0,97044, da cui a sua volta ricaviamo il valore del TIR:

Ecco che abbiamo appena mostrato che quando l’acquisto di un titolo viene effettuato sotto la pari allora il TIR del titolo risulta maggiore del tasso cedolare.

Nel caso in cui il prezzo fosse stato 100, l’equazione da risolvere sarebbe stata

E il TIR corrispondente sarebbe stato equivalente al 2%.

Nell’ultima delle tre situazioni con il prezzo pari a 103, l’equazione da risolvere è 

 ed il TIR corrispondente 1,4888%, inferiore al tasso cedolare.

IL TIR è anche chiamato in inglese yeld to maturity, ovvero tasso di rendimento a scadenza, da cui la denominazione italianizzata TRES.

IL METODO DEL BOOTSTRAP E LA STRUTTURA PER SCADENZA DEI TASSI

Quando osserviamo il mercato obbligazionario ci rendiamo conto che ogni obbligazione presenta un suo specifico TRES.

IL TRES è quell’unico tasso di interesse che rende l’attualizzazione dei flussi cassa (cedole e valore nominale) del titolo uguale al suo prezzo di emissione.

Questo significa che lo stesso tasso viene utilizzato per attualizzare i flussi di cassa relativi ad ogni epoca.

Se ci pensiamo bene tuttavia la rischiosità di un investimento dovrebbe in qualche modo dipendere dall’orizzonte temporale dello stesso.

Quindi servirebbe un approccio che fa corrispondere ad ogni epoca futura un particolare flusso di cassa, e proprio da questo approccio nasce la procedura del Bootstrap.

Mediante questa procedura siamo infatti in grado di ricavare una serie di tassi spot (o tassi a pronti) che variano al variare della scadenza.

Per adottare questa procedura e per determinare una struttura dei tassi di interesse su n periodi, ci avvaliamo generalmente di n titoli, con scadenze rispettivamente a uno, due, tre, …, n periodi.

ESEMPIO DI APPLICAZIONE DEL BOOTSTRAP

Per fare un esempio concreto immaginiamo di voler ricavare la struttura dei tassi spot a 1, 2, 3 e 4 anni, e per farlo ci avvaliamo di questi quattro titoli.

  • BOT con valore nominale pari a 100 e prezzo di emissione di 97,5
  • TCF a due anni con cedola annuale pari a 2,2, valore nominale 100 e prezzo 95.
  • TCF a tre anni con cedola annuale pari a 4, valore nominale 100 e prezzo 92
  • TCF a quattro anni con tasso cedolare 3,8%, valore nominale 100 e prezzo 87,5

Per quanto riguarda il primo titolo mettiamo in zero il prezzo pagato di 97,5 e al tempo 1 il valore nominale di rimborso pari a 100, che comprende anche gli interessi.

Nel titolo 2 al tempo zero mettiamo il prezzo pari a 95. Nel primo anno verrà pagata la cedola pari a 2,2, che rappresenta gli interessi. Il secondo anno oltre alla cedola verrà rimborsato il valore nominale del titolo. Leggeremo quindi 100+2,2=102,2.

Per il titolo 3 mettiamo al tempo zero il prezzo pagato, ovvero 92. Ai tempi 1,2,3 scriviamo la cedola di 4 e ricordiamoci al tempo finale di aggiungere alla cedola il valore nominale.

Per l’ultimo titolo, stessa cosa. In t=0 scriviamo il prezzo di 87,5. Ai tempi 1,2,3,4 mettiamo la cedola, calcolata moltiplicando il valore nominale del titolo (100) per il tasso cedolare (3,8%). L’ultimo anno mettiamo il valore nominale maggiorato della cedola.

A questo punto non ci resta che passare al calcolo dei tassi di interesse presenti nel mercato.

Per fare questo dobbiamo impostare delle equazioni in cui imponiamo il valore attuale dei flussi di cassa uguale al prezzo.

Ad esempio per quanto riguarda la prima obbligazione imponiamo che il prezzo (97,5) deve risultare uguale al valore nominale attualizzato di un anno, al tasso di interesse ad un anno R1.

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Passando al secondo titoli avremo che 95 (prezzo) deve essere eguagliato all’attualizzazione dei due flussi di cassa.

Da notare che il flusso di cassa al tempo uno (2,2) lo attualizziamo con il tasso a un anno (R1), mentre il flusso di cassa presente al tempo due (102,2) lo attualizziamo con il tasso a due anni (R2)

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Facciamo la stessa cosa con le altre due obbligazioni, chiamando R3 il tasso a tre anni e R4 il tasso a quattro anni

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A questo punto quello che otteniamo è un sistema con 4 equazioni e 4 incognite, che sono R1,R2, R3 e R4.

Ovvero proprio i tassi che sono presenti sul mercato obbligazionario.

Ora, per rendere un po’ più comprensibile questo sistema un po’ più comprensibile si possono effettuare le seguenti sostituzioni

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Dove v1, v2, v3 e v4 rappresentano i fattori di attualizzazione rispettivamente a 1,2,3 e 4 anni.

A questo punto il sistema diventa estremamente  più semplificato.

Come si può notare dalla rappresentazione in basso si tratta di un sistema lineare semplificato con 4 equazioni in 4 incognite.

Dalla prima equazione ci ricaviamo subito v1, risolvendo come un’equazione di primo grado

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Una volta ricavato v1, sostituiamo v1 all’interno della seconda equazione e ci ricaviamo v2

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Ricavati così v1 e v2 li sostiamo nella terza equazione e ricaviamo v3

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Infine otteniamo v4 dalla quarta equazione sostituendo v1, v2 e v3.

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Quando abbiamo ricavato tutte le v, andiamo a calcolarci tutti i tassi R.

Ricordiamo qui sotto la relazione che dobbiamo utilizzare.

Non ci resta che applicare queste formule e avremo i nostri tassi

LA CURVA DEI TASSI

Una volta calcolati i tassi spot relativi alle quattro scadenze è possibile rappresentare la curva dei tassi che esprime la struttura per scadenza del mercato.

Nel nostro caso avremo il seguente grafico.

Curva dei tassi  0,09  0,08  0,07  0,06  0,05  0,04  0,03  0,02  0,01  1,5  2,5  4,5

Una curva dei tassi crescente come questa identifica il fatto che titoli che hanno scadenza più lontana hanno un tasso di rendimento maggiore.

Questa dovrebbe essere la situazione “normale” in cui ci si attende che l’economia cresca nel lungo periodo.

Quando la curva dei rendimenti è piatta i tassi a breve sono in linea con i tassi a medio e lungo termine.

Questa situazione si verifica quando vi è un’aspettativa di ribasso nei tasso di interesse.

Una curva dei tassi decrescente, o invertita indica che gli operatori si attendono nel prossimo futuro un calo dei tassi e un ristagno dell’attività economica.

Questa situazione è un indice di sfiducia verso il futuro e gli investitori preferiranno investire le proprie risorse in attività a breve piuttosto che in quelle a medio-lungo termine.

MATEMATICA ATTUARIALE

Il quarto tassello della matematica finanziaria avanzata è composto dalla matematica attuariale.

Questa branchia della matematica finanziaria si occupa dell’analisi dei contratti di assicurazione, in particolare delle polizze caso vita e morte.

CONTRATTO DI ASSICURAZIONE

Un contratto di assicurazione è un contratto in cui una persona chiamato il contraente versa un premio in denaro aduna compagnia assicuratrice per garantire, al verificarsi di un certo evento incerto riguardante una certa persona o cosa (assicurato), il pagamento di una certa prestazione ad un beneficiario.

Quando il contratto ha come oggetto la vita o la morte dell’assicurato allora viene definito contratto di assicurazione caso vita o morte.

TAVOLE DI MORTALITA’ E FUNZIONE BIOMETRICA 

Per poter calcolare le probabilità di vita o di morte che stanno alla base del calcolo dei premi nei contratti di assicurazione ci si avvale della funzione biometrica.

Etimologia: bios=vita, metrica=misura

Tale funzione, sempre non decrescente, esprime l’andamento di una certa popolazione nel tempo.

Se pensiamo all’etimologia della parola biometrica, essa deriva dalle parole greche bios che significa vita e metrica che significa misura.

La funzione biometrica viene costruita a partire dai dati degli istituiti di Statistica, che redigono le tavole di mortalità.

In Italia ad esempio tale compito è affidato all’ISTAT.

Qui sotto riportiamo ad esempio la prima parte della tavola di mortalità redatta dall’Istat nel 2006, con la relativa funzione biometrica sulla sinistra.

100.000  99.603  9e%622  15  ETÀ  5-9  10  11  12  13  14  15  16  18  19  15-19  20  21  22  23  24  20-24  25  x  100.000  99.603  99.556  99.541  99.528  99.517  99.506  99.496  99.488  99.479  99.470  99.459  99.448  99.436  99.422  99.406  99.363  99.338  99.313  99.287  99.262  99.235  99.209  99.182  397  27  15  13  472  11  II  10  49  10  10  II  13  14  16  20  24  25  109  25  27  27  131  27  97  Questi dati sono stati presi dall'Istituto Italiano di Statistica e risalgono al 2006  età dell'individuo  numero di vivi all'età x  sono i decessi delle teste di x anni

Nella prima colonna x troviamo l’età delle persone, chiamate anche teste in gergo attuariale.

La seconda colla lx  rappresenta il numero di teste vive all’età di x anni. Ad esempio sulle 100.000 iniziali, le teste vive all’età di 15 anni sono 99.422.

Nella terza colonna dx troviamo il numero di decessi delle teste di x anni, calcolate come la differenza tra lx e lx+1.

CALCOLO DELLE PROBABILITA’

Tra le varie probabilità che si possono calcolare grazie alle funzioni biometriche mi interessa evidenziarne due, che saranno utilizzate nel nostro esempio.

La prima è la probabilità che una testa di x anni sopravviva ancora n anni, ovvero sino all’età x+n.

Possiamo calcolare questa probabilità dividendo la popolazione viva all’età x+n per la popolazione viva a x anni:

Questa probabilità si legge “p con x temporaneo n”.

La seconda probabilità  che prendimo in considerazione è la probabilità che una testa di x anni muoia nei prossimi n anni, che è la complemetare della precedente.

Per calcolare tale probabilità dividiamo il numero di decessi tra le età x e x+n, pari alla differenza tra i viviall’età x e i vivi all’età x+n, per il numero di vivi all’età x.

Analogamente possiamo calcolarla come la differenza tra 1, ovvero il 100%, e la rispettiva probabilità di vita.

Ipotizzando ad esempio una funzione di vita espressa come formula matematica del tipo:

Se vogliamo calcolare la probabilità di una testa di 30 anni di vivere fino ai 35 anni, o di morire entro i 35 anni, dobbiamo prima calcolare l30 e l350, inserendo al posto della x nella funzione di vita.

La probabilità di vivere nei prossimi 5 anni per il trentenne, ovvero “p con 30 temporaneo 5” sarà dunque pari a:

La rispettiva probabilità di morte, ovvero “p con 30 temporaneo 5”, potremo calcolarla così:

 CALCOLO DEI PREMI E VALORE ATTUALE ATTUARIALE

Per calcolare il premio che il contraente deve versare alla compagnia assicurativa per assicurare, nel caso vita oppure morte, un determinato capitale, dovremo fare il valore attuale attuariale delle prestazione dell’assicurazione, al tasso di mercato considerato.

Il valore attuale attuariale implica oltre che l’attualizzazione delle prestazione, anche la ponderazione delle stesse per la probabilità collegata all’evento.

Vediamo insieme questo esempio che ci aiuta a capire che cosa stiamo facendo.

Supponiamo di voler calcolare il premio unico puro che un assicurato di 30anni deve versare ad una compagnia di assicurazioni per garantire a se stesso o ai suoi eredi le seguenti prestazioni:

  • 100.000 euro a se stesso se risulterà ancora in vita tra 38 anni
  • 50.000 euro agli eredi in caso contrario.

Supponiamo inoltre di aver rilevato attraverso le tavole di mortalità le seguenti informazioni 

Supponiamo inoltre che le attuali condizioni di mercato adottino un tasso di valutazione dell’8%.

Per calcolare il premio unico dovremo quindi fare il valore attuale attuariale degli importi assicurati.

Definito U il premio unico puro e v il fattore unitario di attualizzazione avremo che:

Dove le probabilità considerate sono:

Ora quindi procedendo al calcolo del premio unico avremo:

In definitiva il nostro trentenne dovrà versare oggi alla compagnia la cifra di 4.566,75

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